Bilal BASTI, Cours d'E.V.N.s avec des exercices corrigés
La notion d'espace vectoriel est une structure fondamentale des mathématiques modernes. Il s'agit de dégager les propriétés communes que partagent des ensembles pourtant très différents. Par exemple, on peut additionner deux vecteurs du plan, et aussi multiplier un vecteur par un réel (pour l'agrandir ou le rétrécir).
Mais on peut aussi additionner deux fonctions, ou multiplier une fonction par un réel. Même chose avec les polynômes, les matrices,... Le but est d'obtenir des théorèmes généraux qui s'appliqueront aussi bien aux vecteurs du plan, aux espaces de fonctions, aux polynômes, aux matrices,...
On va parler d'espaces vectoriels normés et d'applications linéaires continues entre ces espaces. Les plus intéressants sont de dimension infinie donc on va principalement parler d'iceux. L'étude de ces objets peut être vue comme de l'algèbre linéaire en dimension infinie.
En mathématiques, un espace de Hilbert est un espace vectoriel réel (resp. complexe) muni d'un produit scalaire euclidien (resp. hermitien), qui permet de mesurer des longueurs et des angles et de définir une orthogonalité. Un espace de Hilbert est complet, ce qui permet d'appliquer des techniques d'analyse. Ces espaces doivent leur nom au mathématicien allemand David Hilbert.
Le concept d'espace de Hilbert étend les méthodes de l'algèbre linéaire en généralisant les notions d'espace euclidien (comme le plan euclidien ou l'espace usuel de dimension 3) et d'espace hermitien à des espaces de dimension quelconque (finie ou infinie).
L'intuition géométrique intervient dans de nombreux aspects de la théorie d'espaces de Hilbert qui possède des théorèmes analogues au théorème de Pythagore et à la règle du parallélogramme.
En mathématiques appliquées, les projections orthogonales sur un sous-espace (ce qui correspond à aplatir l'espace de quelques dimensions) jouent un rôle important dans des problèmes d'optimisation entre autres aspects de la théorie. Un élément d'un espace de Hilbert peut être défini de manière unique par ses coordonnées relativement à une base de Hilbert, de façon analogue aux coordonnées cartésiennes dans une base orthonormale du plan.
La théorie du dernier chapitre nous permet de mieux comprendre toutes sortes de phénomènes périodiques. Elle a son origine aux 18me siècle dans l'interpolation de fonctions périodiques en astronomie, dans l'étude de la corde vibrante et du son avant d'entrer en force en sciences grâce à la théorie de la chaleur de Fourier (1822).