Écoulement en charge en régime non permanent-Phénomène du coup de bélier.

Modélisation mathématique

Les équations du mouvement régissant les écoulements transitoires (coup de bélier) sont celles données par Lorenzo Allievi. Ces dernières sont déduites des équations générales du mouvement données par Saint Venant. Elles sont obtenues en appliquant à une tranche de canalisation le théorème des quantités de mouvement et l'équation de continuité moyennant certaines hypothèses simplificatrices.

Hypothèses simplificatrices

  • La conduite est élastique.

  • Le liquide est compressible.

  • Les vitesses et les pressions sont supposées uniformes dans une section donnée.

  • La conduite est à caractéristiques uniques (le diamètre, la nature et l'épaisseur sont constants).

  • Le réservoir est suffisamment grand (niveau d'eau est constant durant le phénomène).

Mise en équations du phénomène

Considérons l'installation donnée par la figure (3.3) ci-après :

En régime permanent (avant la fermeture de la vanne), le débit dans la conduite est Q0, la vitesse est u0 et la pression est P0. La pression statique y sera donc : P = ρ g z

Si on ferme brusquement la vanne en D, nous allons observer dans les instants qui vont suivre une vitesse u (un débit Q) et une pression dynamique (P = ρ g h) en x variables avec le temps. Par ailleurs, à un même instant t, les quantités P et u auront évidement des valeurs différentes le long de la conduite (varieront avec x). Ainsi, P et u sont des fonctions des deux variables x et t. On a donc, deux inconnues à déterminer, à savoir : h(x, t) [P(x,t)] et u(x,t) [Q(x,t)].

Remarque importante : L'écoulement se fait du réservoir vers la vanne. Lors de l'établissement des équations du mouvement, l'axe est pris positivement du point D vers le point C, c'est-à-dire qu'on remonte le courant.

i) L'application du théorème de la quantité de mouvement donnera l'équation dynamique suivante :

ii) L'application du principe de conservation de la masse donnera l'équation de continuité suivante :

Interprétation des équations d'Allievi

Imaginons un observateur mobile, se déplaçant à la vitesse constante a (mouvement uniforme) selon la loi :

D'après le système d'axes choisi auparavant, x étant positif dans le sens opposé à l'écoulement, l'observateur remonte donc le courant. De l'équation (12) on a : (t – x/a) = Cste. Par conséquent, pour cet observateur, F(t – x/a) représente toujours la même valeur, où qu'il se trouve (en chaque point). F caractérise ainsi une onde se propageant dans la conduite avec une vitesse a en sens inverse de u.

De la même manière que pour un observateur se déplaçant à une vitesse (-a), c'est-à-dire dans le sens du courant, f(t + x/a) représenterait une onde se propageant en sens inverse de la première (f(t + x/a) reste constante en chaque point).

De ce fait, la surpression (ou la dépression) b en chaque point de la conduite, résulte de la superposition en ce point des deux ondes F et f se propageant dans la conduite en sens inverse et avec la même vitesse absolue a.

Formule d'Allievi donnant la vitesse "a"

Allievi donne pour la vitesse "a" de l'onde, la valeur suivante :

  • D : diamètre intérieur de la conduite (m).

  • a : vitesse (m/s).

  • e : épaisseur du tuyau (m).

  • K : coefficient dépendant du matériau constituant la canalisation.

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