Etude de l'équilibre d'un talus de barrage par la méthode de Fellenius
Le principe de base de cette méthode consiste à découper le volume du sol étudié en un certain nombre de tranches juxtaposées (Figures 03), d'appliquer les différentes forces sur ces tranches et d'étudier l'équilibre de l'ensemble. Les hypothèses de calcul sont (Le Delliou 2003):
- La rupture se fait dans un plan (analyse bidimensionnelle) ;
- La rupture se fait selon une courbe dans l'allure est connue et circulaire ;
- Les forces extérieures d'entraînement sont le poids du sol et les surcharges ;
- Le problème est statique ;
- Les lois de la mécanique des milieux continus s'appliquent au sol ;
- le comportement du sol est régit par la loi de Coulomb ;
- Le coefficient de sécurité « FS » est constant le long de la courbe de rupture.
On trace sur une coupe transversale du barrage plusieurs cercles de glissement et on cherche le cercle critique, c'est-à-dire celui qui présente le coefficient de sécurité le plus faible, en appliquant la méthode qui va suivre :
Pour chaque tranche verticale (i), on détermine les efforts suivants :
poids total Wi de la tranche de largeur b et de hauteur h ;
La composante normale du poids sur la surface de glissement est Wi cos i ;
La composante tangentielle du poids est Wi sin i ;
La résultante des forces de pression sur la base de la tranche.
On note :
X, E = composantes verticale et horizontale des forces inter tranches ; b : épaisseur de la tranche ;
α : angle que fait la base de la tranche avec l'horizontale ; R : rayon du cercle de rupture de centre O ;
dl : longueur du plan de glissement de la tranche ; x : bras de levier du poids des terres.
Sachant que T=τ*dl et τ est donnée par l'équation de Mohr- Coulomb:
τ=C+(σ-u)tanφ
Avec:
C: est la cohésion du sol, elle s'exprime en unité de contrainte ;
σ est la contrainte normale ;
u est la pression interstitielle.
φ est l'angle de frottement interne
Finalement, sur la tranche (i) :
La force motrice est la composante tangentielle du poids, elle est égale à W_i sin〖∝_i 〗
La force résistante est la force de frottement au niveau du plan de glissement de la tranche, elle est égale C.dl+(W_i cos〖∝_i 〗-u.dl)tanφ
La largeur de la tranche dl peut s'exprimer par (voir figure 01)
dl=b/cos〖∝_i 〗
En négligent les forces entre les tranches verticales et horizontales, le facteur de sécurité est défini comme étant le rapport du moment résistant sur le moment moteur. Pour un cercle de glissement donné qui découpe le volume de sol en n tranches, il vaut :
- Prise en compte de la sismicité dans le calcul de stabilité
Prendre cet aspect en compte est très important en zone sismique (plusieurs ouvrages à travers le monde ont cédés suite à des tremblements de terre). Les méthodes employées pour apprécier la stabilité des ouvrages en séisme sont pseudo-statique ou dynamiques. Pour les petits ouvrages et un séisme faible ou modéré, on se contente généralement d'utiliser la méthode pseudo-statique. Lorsque l'ouvrage est plus sensible et le séisme plus important, il est recommandé d'utiliser des méthodes plus représentatives prenant en compte le comportement dynamique des sols.
Méthode pseudo-statique
C'est la méthode la plus généralement utilisée dans le cas des petits et moyens barrages. L'effet du séisme est exprimé par une force horizontale équivalente. La magnitude de cette force est considérée comme une fraction du poids de l'ouvrage (Figure).
Dans le cas de l'application de la méthode des tranches de Fellenius, la force sismique Ps est calculée pour chaque tranche. Elle s'exprime sous la forme (Rolley, Kreitmann et al. 1977):
Où P_s=β*K*w
β est un coefficient qui dépend des caractéristiques dynamiques de l'ouvrage au séisme (β=1,5)
K : est un coefficient qui dépend du degré de séismicité de la zone et du degré d'importance de l'ouvrage (k≈0,025)
L'équation (a) devient :
Avec :
q : le bras de levier de la force sismique par rapport au centre du cercle O et de rayon R